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Guía de ejercicios resueltos de trigonometría. TP02

Trigonometría: Solución del ejercicio n° 4 de resolución de triángulos. Teorema del seno y coseno. Identidades. Problemas resueltos. Ejemplo, cómo calcular los lados y los ángulos de triángulos mediante trigonometría

Problema n° 4 de trigonometría.

Problema n° 4) Resolver los siguientes triángulos:

a -

A = 325 m

a = 30° 45´ 20"

c = 87° 30´

c -

B = 601 m

C = 1000 m

c = 95° 02´ 08"

b -

A = 40 cm

B = 38 cm

C = 27 cm

d -

A = 12,33 cm

C = 24,05 cm

b = 76° 45´ 30"

Teorema del seno: "En todo triángulo sus lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos".

A/sen a = B/sen b = C/sen c

Solución

a-

La suma de los ángulos interiores de un triángulo es:

a + b + c = 180°

b = 180° - a - c

b = 180° - 30° 45´ 20" - 87° 30´

b = 61° 44´ 40"

 

Aplicando el Teorema del seno:

A/sen a = C/sen c

C = A·sen c/sen a

C = (325 m·sen 87° 30´)/(sen 30° 45´ 20")

C = (325 m·0,9990)/0,5114

C = 634,935 m

 

Aplicando el Teorema del seno:

A/sen a = B/sen b

B = A·sen b/sen a

B = (325 m·sen 61° 44´ 40")/(sen 30° 45´ 20")

B = (325 m·0,8808)/0,5114

B = 559,812 m

 

b-

A² = B² + C² - 2·B·C·cos a

B² + C² - A² = 2·B·C·cos a

cos a = (B² + C² - A²)/2·B·C

cos a = [(38 cm)² + (27 cm)² - (40 cm)²]/2·(38 cm)·(27 cm)

cos a = (1444 cm² + 729 cm² - 1600 cm²)/(2052 cm²)

cos a = (573 cm²)/(2052 cm²)

cos a = 0,2792

a = arccos 0,2792

a = 73° 47´ 7"

 

Aplicando el Teorema del Coseno:

B² = A² + C² - 2·A·C·cos b

A² + C² - B² = 2·A·C·cos b

cos b = (A² + C² - B²)/2·A·C

cos b = [(40 cm)² + (27 cm)² - (38 cm)²]/2·(40 cm)·(27 cm)

cos b = (1600 cm² + 729 cm² - 1444 cm²)/(2160 cm²)

cos b = (885 cm²)/(2160 cm²)

cos b = 0,4097

b = arccos 0,4097

b = 65° 48´ 45"

 

La suma de los ángulos interiores de un triángulo es:

a + b + c = 180°

c = 180° - a - b

c = 180° - 73° 47´ 7" - 65° 48´ 45"

c = 40° 24´ 8"

 

c-

Aplicando el Teorema del Seno:

C/sen c = B/sen b

sen b = (B/C)·sen c

sen b = (601 m/1000 m)·sen 95° 02´ 08"

sen b = 0,601·0,9961

sen b = 0,5987

b = arcsen 0,5987

b = 36° 46´ 32"

 

La suma de los ángulos interiores de un triángulo es:

a + b + c = 180°

a = 180° - b - c

a = 180° - 36° 46´ 32" - 95° 02´ 08"

a = 48° 11´ 20"

 

Aplicando el Teorema del Seno:

A/sen a = C/sen c

A = C·sen a/sen c

A = (1000 m·sen 48° 11´ 20")/(sen 95° 02´ 08")

A = (1000 m·0,7453)/0,9961

A = 748,23 m

 

d-

Aplicando el Teorema del Coseno:

B² = A² + C² - 2·A·C·cos b

B² = (12,33 cm)² + (24,05 cm)² - 2·(12,33 cm)·(24,05 cm)·cos 76° 45´ 30"

B² = 152,0289 cm² + 578,4025 cm² - 593,073 cm²·0,2291

B² = 594,582801 cm²

B =24,38 cm

 

Aplicando el Teorema del Seno:

C/sen c = B/sen b

sen c = (C/B)·sen b

sen c = (24,05 cm/24,38 cm)·sen 76° 45´ 30")

sen c = 0,9863·0,9734

sen c = 0,9601

c = arctg 0,9601

c = 0,7650

c = 43° 49´ 59"

 

La suma de los ángulos interiores de un triángulo es:

a + b + c = 180°

a = 180° - c - b

a = 180° - 43° 49´ 59" - 76° 45´ 30"

a = 59° 24´ 31"

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