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Ejemplo, cómo aplicar identidades trigonométricas

Problema n° 7 de trigonometría

Enunciado del ejercicio n° 7

Probar que:

a) cotg 2·x = (cotg x - tg x)/2

b) sen (2·a + a) = 3·sen a - 4·sen³ a

c) sen (a + b)·sen (a - b) = sen² a - sen² b

Solución

a)

cotg (x + x) =cotg x·cotg x - 1
cotg x + cotg x
cotg 2·x =cotg² x - 1
2·cotg x

Luego:

cotg² x - 1=cotg x - tg x
2·cotg x2
cotg² x-1=cotg x - tg x
2·cotg x2·cotg x2
cotg x-tg x=cotg x - tg x
222
cotg 2·x =cotg x - tg x
2

b)

sen 3·a = 3·sen a - 4·sen³ a

sen 2·a·cos a + cos 2·a·sen a = 3·sen a - 4·sen³ a

2·(sen a)·(cos a)·cos a + (cos² a - sen² a)·sen a = 3·sen a - 4·sen³ a

2·sen a·cos² a + (sen a·cos² a - sen³ a) = 3·sen a - 4·sen³ a

2·sen a·cos² a + sen a·cos² a - sen³ a = 3·sen a - 4·sen³ a

3·sen a·cos² a - sen³ a = 3·sen a - 4·sen³ a

3·sen a·(1 - sen² a) - sen³ a = 3·sen a - 4·sen³ a

3·sen a - 3·sen a·sen² a - sen³ a = 3·sen a - 4·sen³ a

3·sen a - 3·sen³ a - sen³ a = 3·sen a - 4·sen³ a

3·sen a - 4·sen³ a = 3·sen a - 4·sen³ a

c)

(sen a·cos b + cos a·sen b)·(sen a·cos b - cos a·sen b) = sen² a - sen² b

(sen a·cos b)² - (cos a·sen b)² = sen² a - sen² b

sen² a·cos² b - cos² a·sen² b = sen² a - sen² b

sen² a·(1 - sen² b) - (1 - sen² a)·sen² b = sen² a - sen² b

sen² a - sen² a·sen² b - sen² b + sen² a·sen² b = sen² a - sen² b

Cancelando:

sen² a - sen² b = sen² a - sen² b

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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