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Ejemplo, cómo aplicar identidades trigonométricas

Problema n° 8 de trigonometría

Enunciado del ejercicio n° 8

Verificar las siguientes identidades:

a) sen α - (tg α)·cos α = 0

b) sec² α·(cosec² α - 1) = cosec² α

c) tg α·tg β·(cotg α + cotg β) =sen α·cos β + sen β·cos α
cos α·cos β

d) sen² α - sen² α·cos² β = (sen² β) - (sen² β)·(cos² α)

e) (1 + tg α)·(1 - tg α) = 2 - sec² α

Solución

a)

sen α - (sen α/cos α)·cos α = 0

sen α - sen α = 0

b)

(1)²·[(1)² - 1] = cosec² α
cos αsen α
1·(1- 1) = cosec² α
cos² αsen² α
1·1 - sen² α= cosec² α
cos² αsen² α
1·cos² α= cosec² α
cos² αsen² α
1= cosec² α
sen² α

c)

tg α·tg β·(cotg α + cotg β) =sen α·cos β + sen β·cos α
cos α·cos β
sen α·sen β·(cos α+cos β) =
cos αcos βsen αsen β
sen α·sen β·sen β·cos α + sen α·cos β=
cos αcos βsen α·sen β
sen β·cos α + sen α·cos β=sen β·cos α + sen α·cos β
cos α·cos βcos α·cos β

d)

sen² α - sen² α·(1 - sen² β) = sen² β - sen² β·cos² α

sen² α - sen² α + (sen² α)·(sen² β) = sen² β - sen² β·cos² α

(sen² α)·(sen² β) = sen² β - sen² β·cos² α

(1 - sen² α)·sen² β = sen² β - sen² β·cos² α

sen² β - (sen² α)·(sen² β) = sen² β - sen² β·cos² α

e)

1 - tg² α = 2 - sec² α

1 -sen² α= 2 - sec² α
cos² α
1 -1 - cos² α= 2 - sec² α
cos² α
cos² α - 1 + cos² α= 2 - sec² α
cos² α
2·cos² α - 1= 2 - sec² α
cos² α
2·cos² α-1= 2 - sec² α
cos² αcos² α
2 -1= 2 - sec² α
cos² α

2 - sec² α = 2 - sec² α

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