Problema n° 8 de trigonometría - TP06
Enunciado del ejercicio n° 8
Verificar las siguientes identidades:
a) sen α - (tg α)·cos α = 0
b) sec² α·(cosec² α - 1) = cosec² α
| c) tg α·tg β·(cotg α + cotg β) = | sen α·cos β + sen β·cos α |
| cos α·cos β |
d) sen² α - sen² α·cos² β = (sen² β) - (sen² β)·(cos² α)
e) (1 + tg α)·(1 - tg α) = 2 - sec² α
Solución
a)
sen α - (sen α/cos α)·cos α = 0
sen α - sen α = 0
b)
| ( | 1 | )²·[( | 1 | )² - 1] = cosec² α |
| cos α | sen α |
| 1 | ·( | 1 | - 1) = cosec² α |
| cos² α | sen² α |
| 1 | · | 1 - sen² α | = cosec² α |
| cos² α | sen² α |
| 1 | · | cos² α | = cosec² α |
| cos² α | sen² α |
| 1 | = cosec² α |
| sen² α |
c)
| tg α·tg β·(cotg α + cotg β) = | sen α·cos β + sen β·cos α |
| cos α·cos β |
| sen α | · | sen β | ·( | cos α | + | cos β | ) = |
| cos α | cos β | sen α | sen β |
| sen α | · | sen β | · | sen β·cos α + sen α·cos β | = |
| cos α | cos β | sen α·sen β |
| sen β·cos α + sen α·cos β | = | sen β·cos α + sen α·cos β |
| cos α·cos β | cos α·cos β |
∎
d)
sen² α - sen² α·(1 - sen² β) = sen² β - sen² β·cos² α
sen² α - sen² α + (sen² α)·(sen² β) = sen² β - sen² β·cos² α
(sen² α)·(sen² β) = sen² β - sen² β·cos² α
(1 - sen² α)·sen² β = sen² β - sen² β·cos² α
sen² β - (sen² α)·(sen² β) = sen² β - sen² β·cos² α
e)
1 - tg² α = 2 - sec² α
| 1 - | sen² α | = 2 - sec² α |
| cos² α |
| 1 - | 1 - cos² α | = 2 - sec² α |
| cos² α |
| cos² α - 1 + cos² α | = 2 - sec² α |
| cos² α |
| 2·cos² α - 1 | = 2 - sec² α |
| cos² α |
| 2·cos² α | - | 1 | = 2 - sec² α |
| cos² α | cos² α |
| 2 - | 1 | = 2 - sec² α |
| cos² α |
2 - sec² α = 2 - sec² α ∎
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, cómo aplicar identidades trigonométricas