Problema n° 1-e de derivadas por definición en una variable - TP01
Enunciado del ejercicio n° 1-e
Calcular la siguiente derivada aplicando la definición en el punto que se indica.
f(x) = ln (x - 2), x = 4
• Respuesta: ½
Desarrollo
Fórmulas:
| f'(x) = | lim h ⟶ 0 | f(x0 + h) - f(x0) |
| h |
Solución
f(x) = ln (x - 2), x = 4
| f'(4) = | lim h ⟶ 0 | f(4 + h) - f(4) |
| h |
Hallamos los valores de la función para f(4) y f(4 + h):
f(4 + h) = ln [(4 + h) - 2]
f(4 + h) = ln (4 + h - 2)
f(4 + h) = ln (2 + h)
f(4) = ln (4 - 2)
f(4) = ln 2
Con los valores hallados aplicamos la definición de derivada en el punto dado:
| f'(4) = | lim h ⟶ 0 | ln (2 + h) - ln 2 |
| h |
Por las propiedades de los logaritmos:
| f'(4) = | lim h ⟶ 0 | ln ½·(2 + h) |
| h |
| f'(4) = | lim h ⟶ 0 | 1 | ·ln (1 + ½·h) |
| h |
| f'(4) = | lim h ⟶ 0 | 1 | ·ln (1 + ½·h) |
| h |
| f'(4) = | lim h ⟶ 0 | ·ln (1 + ½·h)1/h |
Llamamos:
h/2 = n, h = n·2
| 1 | = | 1 | = | 1 | · | 1 |
| h | n·2 | n | 2 |
Si h ⟶ 0, n ⟶ 0
| f'(4) = ln [ | lim n ⟶ 0 | (1 + n)1/n | ½ | ] = |
Recordemos que:
| lim n ⟶ 0 | (1 + n)1/n = e |
Resolvemos el límite:
f'(4) = ln e½
f'(4) = ½·ln e
f'(4) = ½·1
f'(4) = ½
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina
Ejemplo, cómo derivar funciones por definición