Problema n° 1-e de derivadas por definición en una variable - TP01

Enunciado del ejercicio n° 1-e

Calcular la siguiente derivada aplicando la definición en el punto que se indica.

f(x) = ln (x - 2), x = 4

• Respuesta: ½

Desarrollo

Fórmulas:

f'(x) =lim
h ⟶ 0
f(x0 + h) - f(x0)
h

Solución

f(x) = ln (x - 2), x = 4

f'(4) =lim
h ⟶ 0
f(4 + h) - f(4)
h

Hallamos los valores de la función para f(4) y f(4 + h):

f(4 + h) = ln [(4 + h) - 2]

f(4 + h) = ln (4 + h - 2)

f(4 + h) = ln (2 + h)

f(4) = ln (4 - 2)

f(4) = ln 2

Con los valores hallados aplicamos la definición de derivada en el punto dado:

f'(4) =lim
h ⟶ 0
ln (2 + h) - ln 2
h

Por las propiedades de los logaritmos:

f'(4) =lim
h ⟶ 0
ln ½·(2 + h)
h
f'(4) =lim
h ⟶ 0
1·ln (1 + ½·h)
h
f'(4) =lim
h ⟶ 0
1·ln (1 + ½·h)
h
f'(4) =lim
h ⟶ 0
·ln (1 + ½·h)1/h

Llamamos:

h/2 = n, h = n·2

1=1=1·1
hn·2n2

Si h ⟶ 0, n ⟶ 0

f'(4) = ln [lim
n ⟶ 0
(1 + n)1/n½] =
 

Recordemos que:

lim
n ⟶ 0
(1 + n)1/n = e

Resolvemos el límite:

f'(4) = ln e½

f'(4) = ½·ln e

f'(4) = ½·1

f'(4) = ½

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina

Ejemplo, cómo derivar funciones por definición

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