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Ejemplo, cómo derivar funciones compuestas

Problema n° 2-c y 2-d de derivadas de funciones compuestas en una variable - TP03

Enunciado del ejercicio n° 2-c y 2-d

Derivar las siguientes funciones compuestas.

c) f(x) = ln sen² 3·x

d) f(x) = ln (cosec x + cotg x)

Solución

c)

f(x) = ln sen² 3·x

Expresamos la función como "función de función":

u = 3·x

v = sen² u

w = ln v

Luego:

u' = 3

v' = 2·sen u·cos u

w' =1
v

f'(x) = w'·v'·u'

Derivamos:

f'(x) =1·2·sen 3·x·cos 3·x·3
sen² 3·x
f'(x) =6·sen 3·x·cos 3·x
sen² 3·x
f'(x) =6·cos 3·x
sen 3·x

f'(x) = 6·cotg 3·x

d)

f(x) = ln (cosec x + cotg x)

Expresamos la función como "función de función":

u = cosec x + cotg x

v = ln u

Luego:

u' =-cos x+-1
sen² xsen² x
u' = -1 + cos x
sen² x
v' =1
u

f'(x) = v'·u'

Derivamos:

f'(x) =1·(-1 + cos x)
cosec x + cotg xsen² x

De las identidades y relaciones trigonométricas:

cosec x =1
sen x
cotg x =cos x
sen x
cosec x + cotg x =1+cos x
sen xsen x
cosec x + cotg x =1 + cos x
sen x

Reemplazamos:

f'(x) =sen x·(-1 + cos x)
1 + cos xsen² x
f'(x) = -sen x·1 + cos x
1 + cos xsen² x

Simplificamos:

f'(x) = -1
sen x

f'(x) = -cosec x

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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