Problema n° 2-c y 2-d de derivadas de funciones compuestas en una variable - TP03
Enunciado del ejercicio n° 2-c y 2-d
Derivar las siguientes funciones compuestas.
c) f(x) = ln sen² 3·x
d) f(x) = ln (cosec x + cotg x)
Solución
c)
f(x) = ln sen² 3·x
Expresamos la función como "función de función":
u = 3·x
v = sen² u
w = ln v
Luego:
u' = 3
v' = 2·sen u·cos u
| w' = | 1 |
| v |
f'(x) = w'·v'·u'
Derivamos:
| f'(x) = | 1 | ·2·sen 3·x·cos 3·x·3 |
| sen² 3·x |
| f'(x) = | 6·sen 3·x·cos 3·x |
| sen² 3·x |
| f'(x) = | 6·cos 3·x |
| sen 3·x |
f'(x) = 6·cotg 3·x
d)
f(x) = ln (cosec x + cotg x)
Expresamos la función como "función de función":
u = cosec x + cotg x
v = ln u
Luego:
| u' = | -cos x | + | -1 |
| sen² x | sen² x |
| u' = - | 1 + cos x |
| sen² x |
| v' = | 1 |
| u |
f'(x) = v'·u'
Derivamos:
| f'(x) = | 1 | ·(- | 1 + cos x | ) |
| cosec x + cotg x | sen² x |
De las identidades y relaciones trigonométricas:
| cosec x = | 1 |
| sen x |
| cotg x = | cos x |
| sen x |
| cosec x + cotg x = | 1 | + | cos x |
| sen x | sen x |
| cosec x + cotg x = | 1 + cos x |
| sen x |
Reemplazamos:
| f'(x) = | sen x | ·(- | 1 + cos x | ) |
| 1 + cos x | sen² x |
| f'(x) = - | sen x | · | 1 + cos x |
| 1 + cos x | sen² x |
Simplificamos:
| f'(x) = - | 1 |
| sen x |
f'(x) = -cosec x
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina
Ejemplo, cómo derivar funciones compuestas