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Ejemplo, cómo derivar funciones compuestas

Problema n° 2-e y 2-f de derivadas de funciones compuestas en una variable - TP03

Enunciado del ejercicio n° 2-e y 2-f

Derivar las siguientes funciones compuestas.

e) f(x) =sen x
1 + tg² x

f) f(x) = sen x - ⅓·sen³ x

Solución

e)

f(x) =sen x
1 + tg² x

Por las propiedades trigonométrica:

1 + tg² x =1
cos² x

f(x) = sen x·cos² x

Aplicamos la fórmula para derivar productos:

y = u·v ⇒ y' = u'·v + v'·u

u = sen x ⇒ u' = cos x

v = cos² x

Pero "v" es una función compuesta:

s = cos x

t = s²

Luego:

s' = -sen x

t' = 2·s

v' = t'·s'

Planteamos la derivada:

f'(x) = u'·v + v'·u

f'(x) = u'·v + t'·s'·u

Derivamos:

f'(x) = cos x·cos² x + (2·cos x)·(-sen x)·(sen x)

f'(x) = cos x·cos² x - 2·cos x·sen x·sen x

f'(x) = cos x·cos² x - 2·cos x·sen² x

f'(x) = cos x·(cos² x - 2·sen² x)

Por la relación pitagórica:

sen² x = 1 - cos² x

Reemplazamos:

f'(x) = cos x·[cos² x - 2·(1 - cos² x)]

f'(x) = cos x·(cos² x - 2 + 2·cos² x)

f'(x) = cos x·(3·cos² x - 2)

f)

f(x) = sen x - ⅓·sen³ x

Expresamos la función como "función de función":

u = sen x

v = ⅓·u³

Luego:

u' = cos x

v' = u²

f'(x) = (sen x)' - v'·u'

Derivamos:

f'(x) = cos x - sen² x·cos x

f'(x) = cos x·(1 - sen² x)

Por la relación pitagórica:

cos² x = 1 - sen² x

Reemplazamos:

f'(x) = cos x·cos² x

f'(x) = cos³ x

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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