Problema n° 1-c-d-e de derivadas de funciones compuestas en una variable - TP04

Enunciado del ejercicio n° 1-c-d-e

Derivar las siguientes funciones compuestas.

c) f(sen x) = sen x - ⅓·sen³ x

d) f(x) = -⅓·cotg³ x + cotg x + x

e) f(cotg x) = -⅓·cotg³ x + cotg x

Solución

c)

f(sen x) = sen x - ⅓·sen³ x

Hacemos un cambio de variable:

u = sen x

f(u) = u - ⅓·u³

Derivamos con respecto a "u":

f'(u) = 1 - 3·⅓·u²

Volvemos a hacer el cambio de variable:

f'(sen x) = 1 - 3·⅓·sen² x

d)

f(x) = -⅓·cotg³ x + cotg x + x

Para el primer término expresamos la función como "función de función":

u = cotg x

v = -⅓·u³

Luego:

u' = -1
sen² x

v' = -⅓·3·u² ⇒ -u²

Derivamos:

f'(x) = v'·u' + u' + x'

f'(x) = -cotg² x·(-1) + (-1) + 1
sen² xsen² x
f'(x) = cotg² x·1-1+ 1
sen² xsen² x

Por las relaciones fundamentales de trigonometría:

1 + cotg² x =1
sen² x

Reemplazamos:

f'(x) = cotg² x·(1 + cotg² x) - (1 + cotg² x) + 1

Aplicamos la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma:

f'(x) = cotg² x + cotg4 x - 1 - cotg² x + 1

f'(x) = cotg4 x

e)

f(cotg x) = -⅓·cotg³ x + cotg x

Hacemos un cambio de variable:

u = cotg x

f(u) = -⅓·u³ + u

Derivamos con respecto a "u":

f'(u) = -3·⅓·u² + 1

f'(u) = -u² + 1

Volvemos a hacer el cambio de variable:

f'(cotg x) = -cotg² x + 1

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina

Ejemplo, cómo derivar funciones compuestas

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