Problema n° 1-c-d-e de derivadas de funciones compuestas en una variable - TP04
Enunciado del ejercicio n° 1-c-d-e
Derivar las siguientes funciones compuestas.
c) f(sen x) = sen x - ⅓·sen³ x
d) f(x) = -⅓·cotg³ x + cotg x + x
e) f(cotg x) = -⅓·cotg³ x + cotg x
Solución
c)
f(sen x) = sen x - ⅓·sen³ x
Hacemos un cambio de variable:
u = sen x
f(u) = u - ⅓·u³
Derivamos con respecto a "u":
f'(u) = 1 - 3·⅓·u²
Volvemos a hacer el cambio de variable:
f'(sen x) = 1 - 3·⅓·sen² x
d)
f(x) = -⅓·cotg³ x + cotg x + x
Para el primer término expresamos la función como "función de función":
u = cotg x
v = -⅓·u³
Luego:
u' = - | 1 |
sen² x |
v' = -⅓·3·u² ⇒ -u²
Derivamos:
f'(x) = v'·u' + u' + x'
f'(x) = -cotg² x·(- | 1 | ) + (- | 1 | ) + 1 |
sen² x | sen² x |
f'(x) = cotg² x· | 1 | - | 1 | + 1 |
sen² x | sen² x |
Por las relaciones fundamentales de trigonometría:
1 + cotg² x = | 1 |
sen² x |
Reemplazamos:
f'(x) = cotg² x·(1 + cotg² x) - (1 + cotg² x) + 1
Aplicamos la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma:
f'(x) = cotg² x + cotg⁴ x - 1 - cotg² x + 1
f'(x) = cotg⁴ x
e)
f(cotg x) = -⅓·cotg³ x + cotg x
Hacemos un cambio de variable:
u = cotg x
f(u) = -⅓·u³ + u
Derivamos con respecto a "u":
f'(u) = -3·⅓·u² + 1
f'(u) = -u² + 1
Volvemos a hacer el cambio de variable:
f'(cotg x) = -cotg² x + 1
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
- Anterior |
- Regresar a la guía TP04
- | Siguiente
Ejemplo, cómo derivar funciones compuestas