Problema n° 2-e y 2-f de derivadas de funciones exponenciales en una variable - TP04
Enunciado del ejercicio n° 2-e y 2-f
Derivar las siguientes funciones exponenciales:
| e) f(x) = | eˣ - 1 |
| eˣ + 1 |
f) f(x) = ln (a·x·eˣ)
Solución
e)
| f(x) = | eˣ - 1 |
| eˣ + 1 |
Aplicamos la fórmula para derivar cocientes:
| y = | u | ⇒ y' = | u'·v - u·v' |
| v | v² |
u = eˣ - 1
v = eˣ + 1
Luego:
u' = eˣ
v' = eˣ
Planteamos la derivada:
| f'(x) = | eˣ·(eˣ + 1) - (eˣ - 1)·eˣ |
| (eˣ + 1)² |
En el numerador extraemos factor común eˣ:
| f'(x) = | eˣ·[(eˣ + 1) - (eˣ - 1)] |
| (eˣ + 1)² |
Resolvemos:
| f'(x) = | eˣ·(eˣ + 1 - eˣ + 1) |
| (eˣ + 1)² |
| f'(x) = | eˣ·2 |
| (eˣ + 1)² |
f)
f(x) = ln (a·x·eˣ)
Por las propiedades de los logaritmos:
f(x) = ln a + ln x + ln eˣ
u = eˣ
v = ln u
Luego:
u' = eˣ
| v' = | 1 |
| u |
Derivamos:
| f'(x) = (ln a)' + (ln x)' + | 1 | ·eˣ |
| eˣ |
| f'(x) = 0 + | 1 | + 1 |
| x |
| f'(x) = | 1 + x |
| x |
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, cómo derivar funciones exponenciales