Problema n° 1-a de derivadas de funciones compuestas en una variable - TP05

Enunciado del ejercicio n° 1-a

Derivar la siguiente función compuesta.

f(x) = ⅛·ln1 - cos 2·x
1 + cos 2·x

Solución

f(x) = ⅛·ln1 - cos 2·x
1 + cos 2·x

Expresamos la función como "función de función":

u = 2·x

v = cos u

w = ln r

"r" es un cociente:

r =1 - v
1 + v

s = 1 - v

t = 1 + v

Luego:

u' = 2

v' = -sen u

w' =1
r

Aplicamos la fórmula para derivar cocientes:

r =s⇒ r' =s'·t - s·t'
t

s' = -1

t' = 1

Planteamos la derivada del cociente:

r' =-1·(1 + v) - (1 - v)·1
(1 + v)²
r' =-1 - v - 1 + v
(1 + v)²
r' =-2
(1 + v)²

f'(x) = w'·v'·u'·r'

Derivamos:

f'(x) = ⅛·1.(-sen 2·x)·2·-2
1 - cos 2·x(1 + cos 2·x)²
 1 + cos 2·x  
f'(x) = ⅛·1 + cos 2·x.(-sen 2·x)·-4
1 - cos 2·x(1 + cos 2·x)²
f'(x) = ⅛·1 + cos 2·x.4·sen 2·x
1 - cos 2·x(1 + cos 2·x)²

Simplificamos:

f'(x) = ½·1.sen 2·x
1 - cos 2·x1 + cos 2·x
f'(x) = ½·sen 2·x
1 - cos² 2·x

Por la relación pitagórica:

1 - cos² 2·x = sen² 2·x

Reemplazamos:

f'(x) = ½·sen 2·x
sen² 2·x
f'(x) = ½·1
sen 2·x

f'(x) = ½·cosec 2·x

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina

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Ejemplo, cómo derivar funciones compuestas

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