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Ejemplo, cómo derivar funciones compuestas

Problema n° 1-b de derivadas de funciones compuestas en una variable - TP05

Enunciado del ejercicio n° 1-b

Derivar la siguiente función compuesta.

f(cos 2·x) = ⅛·ln1 - cos 2·x
1 + cos 2·x

Solución

f(cos 2·x) = ⅛·ln1 - cos 2·x
1 + cos 2·x

Pide derivar respecto a "cos 2·x".

Hacemos un cambio de variable:

u = cos 2·x

f(u) = ⅛·ln1 - u
1 + u

v = ln r

"r" es un cociente:

r =1 - u
1 + u

s = 1 - u

t = 1 + u

Luego:

s' = -1

t' = 1

v' =1
r

Aplicamos la fórmula para derivar cocientes:

r =s⇒ r' =s'·t - s·t'
t

Planteamos la derivada del cociente:

r' =-1·(1 + u) - (1 - u)·1
(1 + u)²
r' =-1 - u - 1 + u
(1 + u)²
r' =-2
(1 + u)²

f'(x) = ⅛·v'·r'

Derivamos:

f'(x) = ⅛·1·-2
1 - u(1 + u)²
 1 + u  
f'(x) = ⅛·1 + u·-2
1 - u(1 + u)²

Simplificamos:

f'(x) = ¼·1·-1
1 - u1 + u
f'(x) = -¼·1
1 - u²

Volvemos a hacer el cambio de variable:

f'(cos 2·x) = -¼·1
1 - cos² 2·x

Por la relación pitagórica:

1 - cos² 2·x = sen² 2·x

Reemplazamos:

f'(cos 2·x) = -¼·1
sen² 2·x

f'(cos 2·x) = -¼·cosec² 2·x

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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