Ejemplo, cómo derivar funciones compuestas

Problema n° 1-b de derivadas de funciones compuestas en una variable - TP05

Enunciado del ejercicio n° 1-b

Derivar la siguiente función compuesta.

f(cos 2·x) = ⅛·ln	1 - cos 2·x
	1 + cos 2·x

f(cos 2·x) = ⅛·ln	1 - cos 2·x
	1 + cos 2·x

Pide derivar respecto a "cos 2·x".

Hacemos un cambio de variable:

u = cos 2·x

f(u) = ⅛·ln	1 - u
	1 + u

v = ln r

"r" es un cociente:

r =	1 - u
	1 + u

s = 1 - u

t = 1 + u

Luego:

s' = -1

t' = 1

v' =	1
	r

Aplicamos la fórmula para derivar cocientes:

r =	s	⇒ r' =	s'·t - s·t'
	t		t²

Planteamos la derivada del cociente:

r' =	-1·(1 + u) - (1 - u)·1
	(1 + u)²

r' =	-1 - u - 1 + u
	(1 + u)²

r' =	-2
	(1 + u)²

f'(x) = ⅛·v'·r'

Derivamos:

f'(x) = ⅛·	1 + u	·	-2
	1 - u		(1 + u)²

Simplificamos:

f'(x) = ¼·	1	·	-1
	1 - u		1 + u

f'(x) = -¼·	1
	1 - u²

Volvemos a hacer el cambio de variable:

f'(cos 2·x) = -¼·	1
	1 - cos² 2·x

1 - cos² 2·x = sen² 2·x

Reemplazamos:

f'(cos 2·x) = -¼·	1
	sen² 2·x

f'(cos 2·x) = -¼·cosec² 2·x

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.