Problema n° 1-f de ecuaciones de primer grado - TP03
Enunciado del ejercicio n° 1-f
Resolver la siguiente ecuación hallando el valor de "x":
| y² | + | 3 | = | 2·y |
| y² - 4 | y + 2 | 2·y - 4 |
Solución
| y² | + | 3 | = | 2·y |
| y² - 4 | y + 2 | 2·y - 4 |
Antes de comenzar observamos los denominadores, sabemos que para que la ecuación tenga solución ningún denominador puede ser igual a cero, por lo tanto:
x ≠ ±2
Sumamos las fracciones de un lado del "=" y extraemos factor común en el denominador del otro lado del "=":
| y²·(y + 2) + 3·(y² - 4) | = | 2·y |
| (y² - 4)·(y + 2) | 2·(y - 2) |
Hacemos distributiva del producto respecto a la suma y resta, y cancelamos:
| y²·y + y²·2 + 3·y² - 3·4 | = | 2·y |
| (y² - 4)·(y + 2) | 2·(y - 2) |
Sabemos que y² - 4 = (y - 2)·(y + 2)
| y²·y + y²·2 + 3·y² - 3·4 | = | y |
| (y - 2)·(y + 2)·(y + 2) | (y - 2) |
Quitamos los paréntesis y hacemos las cuentas:
| y³ + 2·y² + 3·y² - 12 | = | y |
| (y + 2)·(y + 2) | 1 |
Agrupamos y ordenamos los términos de igual grado:
| y³ + 5·y² - 12 | = | y |
| (y + 2)·(y + 2) | 1 |
El denominador (y + 2)·(y + 2) es un trinomio cuadrado perfecto:
(y + 2)·(y + 2) = (y + 2)² = y² + 4·y + 4
| y³ + 5·y² - 12 | = | y |
| y² + 4·y + 4 | 1 |
Reagrupamos pasando términos del otro lado de "=":
y³ + 5·y² - 12 = y·(y² + 4·y + 4)
y³ + 5·y² - 12 = y·y² + y·4·y + y·4
y³ + 5·y² - 12 = y³ + 4·y² + 4·y
Cancelamos los términos iguales e igualamos a cero:
y³ + 5·y² - 12 = y³ + 4·y² + 4·y
5·y² - 4·y² - 4·y - 12 = 0
y² - 4·y - 12 = 0
Se trata de una ecuación de segundo grado, por lo tanto aplicaremos la ecuación cuadrática (Báscara o Bhaskara):
| y1,2 = | -b ± √b² - 4·a·c |
| 2·a |
Siendo:
a = 1
b = -4
c = -12
Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:
| y1,2 = | -(-4) ± √(-4)² - 4·1·(-12) |
| 2·1 |
| y1,2 = | 4 ± √16 + 48 |
| 2 |
| y1,2 = | 4 ± √64 |
| 2 |
| y1,2 = | 4 ± 8 |
| 2 |
y1 = 6
y2 = -2 (no es solución)
y = 6
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina
Ejemplo, cómo resolver ecuaciones de primer grado. Despejar "x".