Problema n° 1-f de ecuaciones de primer grado - TP03

Enunciado del ejercicio n° 1-f

Resolver la siguiente ecuación hallando el valor de "x":

y²	+	3	=	2·y
y² - 4	+	y + 2	=	2·y - 4

Solución

y²	+	3	=	2·y
y² - 4	+	y + 2	=	2·y - 4

Antes de comenzar observamos los denominadores, sabemos que para que la ecuación tenga solución ningún denominador puede ser igual a cero, por lo tanto:

x ≠ ±2

Sumamos las fracciones de un lado del "=" y extraemos factor común en el denominador del otro lado del "=":

y²·(y + 2) + 3·(y² - 4)	=	2·y
(y² - 4)·(y + 2)	=	2·(y - 2)

Hacemos distributiva del producto respecto a la suma y resta, y cancelamos:

y²·y + y²·2 + 3·y² - 3·4	=	2·y
(y² - 4)·(y + 2)	=	2·(y - 2)

Sabemos que y² - 4 = (y - 2)·(y + 2)

y²·y + y²·2 + 3·y² - 3·4	=	y
(y - 2)·(y + 2)·(y + 2)	=	(y - 2)

Quitamos los paréntesis y hacemos las cuentas:

y³ + 2·y² + 3·y² - 12	=	y
(y + 2)·(y + 2)	=	1

Agrupamos y ordenamos los términos de igual grado:

y³ + 5·y² - 12	=	y
(y + 2)·(y + 2)	=	1

El denominador (y + 2)·(y + 2) es un trinomio cuadrado perfecto:

(y + 2)·(y + 2) = (y + 2)² = y² + 4·y + 4

y³ + 5·y² - 12	=	y
y² + 4·y + 4	=	1

Reagrupamos pasando términos del otro lado de "=":

y³ + 5·y² - 12 = y·(y² + 4·y + 4)

y³ + 5·y² - 12 = y·y² + y·4·y + y·4

y³ + 5·y² - 12 = y³ + 4·y² + 4·y

Cancelamos los términos iguales e igualamos a cero:

y³ + 5·y² - 12 = y³ + 4·y² + 4·y

5·y² - 4·y² - 4·y - 12 = 0

y² - 4·y - 12 = 0

Se trata de una ecuación de segundo grado, por lo tanto aplicaremos la ecuación cuadrática (Báscara o Bhaskara):

y_1,2 =	-b ± √b² - 4·a·c
	2·a

Siendo:

a = 1

b = -4

c = -12

Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:

y_1,2 =	-(-4) ± √(-4)² - 4·1·(-12)
	2·1

y_1,2 =	4 ± √16 + 48
	2

y_1,2 =	4 ± √64
	2

y_1,2 =	4 ± 8
	2

y₁ = 6

y₂ = -2 (no es solución)

y = 6

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina