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Ejemplo, cómo factorizar expresiones algebraicas

Problema n° 5 de casos de factoreo

Enunciado del ejercicio n° 5

Reducir a su más simple expresión:

5·a4 - 5=
(3·a² + 3)·(a² + 2·a + 1)

Solución

En el numerador extraemos factor común 5:

5·a4 - 5=5·(a4 - 1)=
(3·a² + 3)·(a² + 2·a + 1)(3·a² + 3)·(a² + 2·a + 1)

Luego aplicamos diferencia de cuadrados:

5·(a4 - 1)=5·(a² - 1)·(a² + 1)=
(3·a² + 3)·(a² + 2·a + 1)(3·a² + 3)·(a² + 2·a + 1)

Nuevamente aplicamos diferencia de cuadrados:

5·(a² - 1)·(a² + 1)=5·(a - 1)·(a + 1)·(a² + 1)=
(3·a² + 3)·(a² + 2·a + 1)(3·a² + 3)·(a² + 2·a + 1)

En el caso de numerador podríamos haber dividido por (a - b) y luego por (a + b) con el mismo resultado, pero es más sencillo aplicar diferencia de cuadrados.

En el denominador extraemos factor común 3 del primer factor:

5·(a - 1)·(a + 1)·(a² + 1)=5·(a - 1)·(a + 1)·(a² + 1)=
3·(a² + 1)·(a² + 2·a + 1)(3·a² + 3)·(a² + 2·a + 1)

El segundo factor del denominador es un trinomio cuadrado perfecto:

5·(a - 1)·(a + 1)·(a² + 1)=5·(a - 1)·(a + 1)·(a² + 1)=
3·(a² + 1)·(a² + 2·a + 1)3·(a² + 1)·(a + 1)²

Simplificamos:

5·(a - 1)·(a + 1)·(a² + 1)=5·(a - 1)=
(a² + 1)·(a + 1)23·(a + 1)

Finalmente queda:

5·a4 - 5=5·(a - 1)
(3·a² + 3)·(a² + 2·a + 1)3·(a + 1)

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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