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Guía de ejercicios resueltos de casos de factoreo. TP02

Factoreo: Reducción o simplificación de expresiones algebraicas. Problema resuelto. Ejemplo, cómo factorizar expresiones algebraicas

Problema n° 5 de casos de factoreo.

Problema n° 5) Reducir a su más simple expresión:

5.a4 - 5

=

(3.a² + 3).(a² + 2.a + 1)

 

 

Solución

En el numerador extraemos factor común 5:

5.a4 - 5

=

5.(a4 - 1)

=

(3.a² + 3).(a² + 2.a + 1)

(3.a² + 3).(a² + 2.a + 1)

 

Luego aplicamos diferencia de cuadrados:

5.(a4 - 1)

=

5.(a² - 1).(a² + 1)

=

(3.a² + 3).(a² + 2.a + 1)

(3.a² + 3).(a² + 2.a + 1)

 

Nuevamente aplicamos diferencia de cuadrados:

5.(a² - 1).(a² + 1)

=

5.(a - 1).(a + 1).(a² + 1)

=

(3.a² + 3).(a² + 2.a + 1)

(3.a² + 3).(a² + 2.a + 1)

 

En el caso de numerador podríamos haber dividido por (a - b) y luego por (a + b) con el mismo resultado, pero es más sencillo aplicar diferencia de cuadrados.

En el denominador extraemos factor común 3 del primer factor:

5.(a - 1).(a + 1).(a² + 1)

=

5.(a - 1).(a + 1).(a² + 1)

=

(3.a² + 3).(a² + 2.a + 1)

3.(a² + 1).(a² + 2.a + 1)

 

El segundo factor del denominador es un trinomio cuadrado perfecto:

5.(a - 1).(a + 1).(a² + 1)

=

5.(a - 1).(a + 1).(a² + 1)

=

3.(a² + 1).(a² + 2.a + 1)

3.(a² + 1).(a + 1)²

 

Simplificamos:

5.(a - 1).(a + 1).(a² + 1)

=

5.(a - 1)

=

3.(a² + 1).(a + 1)²

3.(a + 1)

 

Finalmente queda:

5.a4 - 5

=

5.(a - 1)

(3.a² + 3).(a² + 2.a + 1)

3.(a + 1)

 

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