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Ejemplo, cómo sumar fracciones de expresiones algebraicas

Problema n° 6 de casos de factoreo

Enunciado del ejercicio n° 6

Sumar la siguiente fracción y simplificar el resultado:

1 - 2·x+1+2=
x³ - 27x² - 6·x + 9x² - 9

Solución

Antes de sumar las fracciones factorizamos los denominadores para luego simplificar y hallar el denominador común:

1 - 2·x+1+2=
x³ - 27x² - 6·x + 9x² - 9

Expresamos el denominador del primer monomio como diferencia de potencias de igual grado con exponente impar:

=1 - 2·x+1+2=
x³ - 3³x² - 6·x + 9x² - 9

Expresamos el denominador del segundo monomio como un binomio al cuadrado, ya que es un trinomio cuadrado perfecto:

=1 - 2·x+1+2=
x³ - 3³(x - 3)²x² - 9

Expresamos el denominador del tercer monomio como diferencia de cuadrados:

=1 - 2·x+1+2=
x³ - 3³(x - 3)²x² - 3²

Siendo:

(x³ - 3³) = (x - 3)·(x² + x·3 + 3²)

=1 - 2·x+1+2=
(x - 3)·(x² + x·3 + 3²)(x - 3)²(x - 3)·(x + 3)

Extraemos factor común (x - 3) de los denominadores:

=1·(1 - 2·x+1+2) =
x - 3x² + x·3 + 3²x - 3x + 3

El divisor común es:

(x - 3)·(x + 3)·(x² + x·3 + 3²)

Sumamos las fracciones:

=1·[(1 - 2·x)·(x - 3)·(x + 3) + 1·(x + 3)·(x² + x·3 + 3²) + 2·(x - 3)·(x² + x·3 + 3²)] =
x - 3(x - 3)·(x + 3)·(x² + x·3 + 3²)

Aplicamos la propiedad distributiva en el numerador:

=1·[(1 - 2·x)·(x² - 9) + (x + 3)·(x² + x·3 + 9) + 2·(x³ - 27)] =
x - 3(x - 3)·(x + 3)·(x² + x·3 + 3²)
=1·[x² - 9 - 2·x³ + 18·x + x³ + 3·x² + 9·x + 3·x² + 9·x + 27 + 2·x³ - 54] =
x - 3(x - 3)·(x + 3)·(x² + x·3 + 3²)

Agrupamos y sumamos los términos de igual grado:

=1·[-2·x³ + x³ + 2·x³ + x² + 3·x² + 3·x² + 18·x + 9·x + 9·x + 27 - 9 - 54] =
x - 3(x - 3)·(x + 3)·(x² + x·3 + 3²)
=1·[x³ + 7·x² + 36·x - 36] =
x - 3(x - 3)·(x + 3)·(x² + x·3 + 3²)

El resultado es:

=x³ + 7·x² + 36·x - 36
(x - 3)²·(x + 3)·(x² + x·3 + 3²)

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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