Problema n° 6 de casos de factoreo o factorización - TP03
Enunciado del ejercicio n° 6
Sumar la siguiente fracción y simplificar el resultado:
| 1 - 2·x | + | 1 | + | 2 | = |
| x³ - 27 | x² - 6·x + 9 | x² - 9 |
Solución
Antes de sumar las fracciones factorizamos los denominadores para luego simplificar y hallar el denominador común:
| 1 - 2·x | + | 1 | + | 2 | = |
| x³ - 27 | x² - 6·x + 9 | x² - 9 |
Expresamos el denominador del primer monomio como diferencia de potencias de igual grado con exponente impar:
| = | 1 - 2·x | + | 1 | + | 2 | = |
| x³ - 3³ | x² - 6·x + 9 | x² - 9 |
Expresamos el denominador del segundo monomio como un binomio al cuadrado, ya que es un trinomio cuadrado perfecto:
| = | 1 - 2·x | + | 1 | + | 2 | = |
| x³ - 3³ | (x - 3)² | x² - 9 |
Expresamos el denominador del tercer monomio como diferencia de cuadrados:
| = | 1 - 2·x | + | 1 | + | 2 | = |
| x³ - 3³ | (x - 3)² | x² - 3² |
Siendo:
(x³ - 3³) = (x - 3)·(x² + x·3 + 3²)
| = | 1 - 2·x | + | 1 | + | 2 | = |
| (x - 3)·(x² + x·3 + 3²) | (x - 3)² | (x - 3)·(x + 3) |
Extraemos factor común (x - 3) de los denominadores:
| = | 1 | ·( | 1 - 2·x | + | 1 | + | 2 | ) = |
| x - 3 | x² + x·3 + 3² | x - 3 | x + 3 |
El divisor común es:
(x - 3)·(x + 3)·(x² + x·3 + 3²)
Sumamos las fracciones:
| = | 1 | ·[ | (1 - 2·x)·(x - 3)·(x + 3) + 1·(x + 3)·(x² + x·3 + 3²) + 2·(x - 3)·(x² + x·3 + 3²) | ] = |
| x - 3 | (x - 3)·(x + 3)·(x² + x·3 + 3²) |
Aplicamos la propiedad distributiva en el numerador:
| = | 1 | ·[ | (1 - 2·x)·(x² - 9) + (x + 3)·(x² + x·3 + 9) + 2·(x³ - 27) | ] = |
| x - 3 | (x - 3)·(x + 3)·(x² + x·3 + 3²) |
| = | 1 | ·[ | x² - 9 - 2·x³ + 18·x + x³ + 3·x² + 9·x + 3·x² + 9·x + 27 + 2·x³ - 54 | ] = |
| x - 3 | (x - 3)·(x + 3)·(x² + x·3 + 3²) |
Agrupamos y sumamos los términos de igual grado:
| = | 1 | ·[ | -2·x³ + x³ + 2·x³ + x² + 3·x² + 3·x² + 18·x + 9·x + 9·x + 27 - 9 - 54 | ] = |
| x - 3 | (x - 3)·(x + 3)·(x² + x·3 + 3²) |
| = | 1 | ·[ | x³ + 7·x² + 36·x - 36 | ] = |
| x - 3 | (x - 3)·(x + 3)·(x² + x·3 + 3²) |
El resultado es:
| = | x³ + 7·x² + 36·x - 36 |
| (x - 3)²·(x + 3)·(x² + x·3 + 3²) |
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina
Ejemplo, cómo sumar fracciones de expresiones algebraicas