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Guía de ejercicios de diferenciación. TP04

Contenido: Recta tangente y plano normal (segunda parte). Ecuación cartesiana del plano normal. Ecuación vectorial.

Ejercicios extraídos del libro "LECCIONES DE ANALISIS II" del Dr. Alfredo F. Novelli para Análisis Matemático II de UNLu.

Guía de ejercicios de diferenciación.

Resolver los siguientes ejercicios:

Segunda parte

Fórmulas aplicables:

Plano: Z.X´(t) = X(t).X´(t)

Recta: Z = X(t) + μ.X´(t)

Problema n° 10) Escribir la ecuación cartesiana del plano normal a la curva:

X(t) = [(t + 1)², -t², 3 - t]

en los puntos de intersección de X(t) con el plano x + y - z = 1.

Problema n° 11) Mostrar que las curvas

a) (t, 2.t², -1/t)

(1 - θ, 2.cos θ, sen θ - 1)

se cortan en el punto p = (1, 2, -1)

b) Calcular el ángulo (≤ π/2) formado por las tangentes a dichas curvas en P.

Problema n° 12) Una partícula se mueve sobre la curva:

X(t) = (cosh t, senh t, t), t ≥ 0

Calcular la velocidad y la aceleración de la partícula en el instante t.

Problema n° 13) Escribir la ecuación cartesiana del plano normal a la curva (cos 3.t, sen 3.t, t²) en el punto:

(0, 1, π²/4)

si el problema esta bien puesto.

Problema n° 14) Escribir la ecuación cartesiana del plano normal a la curva (t², t³, t² + 1) en las eventuales intersecciones de la misma con el plano z = x + y.

Problema n° 15) Calcular el área de la región del plano encerrada entre la curva (x,y) = (cos4 t, sen4 t), 0 ≤ t ≤ π, x = 0.

Problema n° 16) Calcular el área de una elipse de semiejes a y b.

Problema n° 17) Escribir la ecuación cartesiana del plano tangente y la ecuación vectorial de la recta normal a las siguientes superficies en los puntos indicados:

a) z = e³.x.sen 5.y - z, en el punto (0, π/6, 1/2)

b) y = ex.cos z, en el punto (1, e, 0)

c) x² + ey = z, en el punto (1, 0, 2)

Problema n° 18) Escribir la ecuación de la recta tangente a la curva:

(et, e²t, 1 + et), en el punto (1,1,2).

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