Ejemplo, cómo integrar funciones en forma directa

Problemas n° 1-i y 1-j de integración indefinidas - TP14

Enunciado del ejercicio n° 1-i y 1-j

Calcular las siguientes integrales inmediatas:

i) I = ∫	sen 2·x	·dx
	sen x

j) I = ∫(sen	x	+ cos	x	)²·dx
	2		2

I = ∫	sen 2·x	·dx
	sen x

sen 2·x = 2·sen x·cos x

Reemplazamos:

I = ∫	2·sen x·cos x	·dx
	sen x

Simplificamos:

I = ∫2·cos x·dx

Extraemos la constante fuera del signo de integral:

I = 2·∫cos x·dx

Integramos:

I = 2·sen x + C

I = ∫(sen	x	+ cos	x	)²·dx
	2		2

Desarrollamos el binomio al cuadrado:

I = ∫[(sen	x	)² + 2·sen	x	·cos	x	+ (cos	x	)²]·dx
	2		2		2		2

I = ∫(sen²	x	+ cos²	x	+ 2·sen	x	·cos	x	)·dx
	2		2		2		2

sen² x + cos² x = 1

Reemplazamos:

I = ∫(1 + 2·sen	x	·cos	x	)·dx
	2		2

sen 2·x = 2·sen x·cos x

Lo que es:

sen 2·	x	= 2·sen	x	·cos	x
	2		2		2

sen x = 2·sen	x	·cos	x
	2		2

Reemplazamos:

I = ∫(1 + sen x)·dx

I = ∫dx + ∫sen x·dx

Integramos:

I = x - cos x + C

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.