Problemas n° 1-c y 1-d de integración de funciones por el método de sustitución - TP16
Enunciado del ejercicio n° 1-e y 1-f
Calcular las siguientes integrales por sustitución:
e) I = ∫ | dx |
1 - cos x |
f) I = ∫ | √tg x + 1 | ·dx |
cos² x |
Solución
e)
I = ∫ | dx |
1 - cos x |
Por las propiedades trigonométrica:
sen (x/2) = √(1 - cos x)/2
sen² (x/2) = (1 - cos x)/2
2·sen² (x/2) = 1 - cos x
Reemplazamos:
I = ∫ | dx |
2·sen² (x/2) |
Sustituimos:
u = sen (x/2)
Derivamos:
du = ½·cos (x/2)·dx
Despejamos convenientemente el diferencial:
2·du | = dx |
cos (x/2) |
Reemplazamos:
I = ∫ | 2·du |
2·u² |
Simplificamos:
I = ∫ | du |
u² |
I = ∫u⁻²·du
Integramos:
I = | u⁻² ⁺ ¹ | + C |
-2 + 1 |
I = | u⁻¹ | + C |
-1 |
I = - | 1 | + C |
u |
Reemplazamos:
I = - | 1 | + C |
sen (x/2) |
f)
I = ∫ | √tg x + 1 | ·dx |
cos² x |
Sustituimos:
u = tg x + 1
Derivamos:
du = | 1 | ·dx |
cos² x |
Reemplazamos:
I = ∫√u·du
Integramos:
I = | u½ + 1 | + C |
½ + 1 |
I = ⅔·u3/2 + C
Reemplazamos:
I = ⅔·√(tg x + 1)³ + C
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, cómo integrar funciones por el método de sustitución