Problemas n° 1-c y 1-d de integración de funciones por el método de sustitución - TP16

Enunciado del ejercicio n° 1-e y 1-f

Calcular las siguientes integrales por sustitución:

e) I = dx
1 - cos x
f) I = tg x + 1·dx
cos² x

Solución

e)

I = dx
1 - cos x

Por las propiedades trigonométrica:

sen (x/2) = (1 - cos x)/2

sen² (x/2) = (1 - cos x)/2

2·sen² (x/2) = 1 - cos x

Reemplazamos:

I = dx
2·sen² (x/2)

Sustituimos:

u = sen (x/2)

Derivamos:

du = ½·cos (x/2)·dx

Despejamos convenientemente el diferencial:

2·du= dx
cos (x/2)

Reemplazamos:

I = 2·du
2·u²

Simplificamos:

I = du

I = u⁻²·du

Integramos:

I =u⁻² ⁺ ¹+ C
-2 + 1
I =u⁻¹+ C
-1
I = -1+ C
u

Reemplazamos:

I = -1+ C
sen (x/2)

f)

I = tg x + 1·dx
cos² x

Sustituimos:

u = tg x + 1

Derivamos:

du =1·dx
cos² x

Reemplazamos:

I = u·du

Integramos:

I =u½ + 1+ C
½ + 1

I = ⅔·u3/2 + C

Reemplazamos:

I = ⅔·(tg x + 1)³ + C

Ejemplo, cómo integrar funciones por el método de sustitución

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