Ejemplo, cómo integrar funciones trigonométricas
Problemas n° 1-a y 1-b de integración trigonométricas - TP17
Enunciado del ejercicio n° 1-a y 1-b
Calcular las siguientes integrales trigonométricas:
a) I = ∫sen³ x·dx
b) I = ∫sen² x·dx
Solución
a)
I = ∫sen³ x·dx
I = ∫(sen² x)·(sen x)·dx
Por la relación pitagórica:
sen² x = 1 - cos² x
Reemplazamos:
I = ∫(1 - cos² x)·(sen x)·dx
Sustituimos:
u = cos x
Derivamos:
du = -sen x·dx
Reemplazamos:
I = ∫-(1 - u²)·du
I = ∫(-1 + u²)·du
La integral de una suma es la suma de las integrales:
I = -∫du + ∫u²·du
Integramos:
I = -u + | u2 + 1 | + C |
2 + 1 |
I = -u + | u³ | + C |
3 |
Reemplazamos:
I = -cos x + ⅓·cos³ x + C
b)
I = ∫sen² x·dx
Por la relación pitagórica:
sen² x = 1 - cos² x
Por las funciones de suma y diferencia de ángulos:
cos 2·x = 2·cos² x - 1
1 + cos 2·x = 2·cos² x
1 + cos 2·x | = cos² x |
2 |
1 - | 1 + cos 2·x | = sen² x |
2 |
2 - 1 + cos 2·x | = sen² x |
2 |
1 - cos 2·x | = sen² x |
2 |
Reemplazamos:
I = ∫ | 1 - cos 2·x | ·dx |
2 |
I = ½·∫(1 - cos 2·x)·dx
La integral de una diferencia es la resta de las integrales:
I = ½·∫dx - ½·∫cos 2·x·dx
Integramos:
I = ½·x - ½·½·sen 2·x + C
I = ½·x - ¼·sen 2·x + C
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Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
San Martín. Buenos Aires. Argentina.
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