Ejemplo, cómo integrar funciones trigonométricas

Problemas n° 1-a y 1-b de integración trigonométricas - TP17

Enunciado del ejercicio n° 1-a y 1-b

Calcular las siguientes integrales trigonométricas:

a) I = ∫sen³ x·dx

b) I = ∫sen² x·dx

Solución

a)

I = ∫sen³ x·dx

I = ∫(sen² x)·(sen x)·dx

Por la relación pitagórica:

sen² x = 1 - cos² x

Reemplazamos:

I = ∫(1 - cos² x)·(sen x)·dx

Sustituimos:

u = cos x

Derivamos:

du = -sen x·dx

Reemplazamos:

I = ∫-(1 - u²)·du

I = ∫(-1 + u²)·du

La integral de una suma es la suma de las integrales:

I = -∫du + ∫u²·du

Integramos:

I = -u +	u^{2 + 1}	+ C
	2 + 1

I = -u +	u³	+ C
	3

Reemplazamos:

I = -cos x + ⅓·cos³ x + C

b)

I = ∫sen² x·dx

Por la relación pitagórica:

sen² x = 1 - cos² x

Por las funciones de suma y diferencia de ángulos:

cos 2·x = 2·cos² x - 1

1 + cos 2·x = 2·cos² x

1 + cos 2·x	= cos² x
2

1 -	1 + cos 2·x	= sen² x
	2

2 - 1 + cos 2·x	= sen² x
2

1 - cos 2·x	= sen² x
2

Reemplazamos:

I = ∫	1 - cos 2·x	·dx
	2

I = ½·∫(1 - cos 2·x)·dx

La integral de una diferencia es la resta de las integrales:

I = ½·∫dx - ½·∫cos 2·x·dx

Integramos:

I = ½·x - ½·½·sen 2·x + C

I = ½·x - ¼·sen 2·x + C

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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