Ejemplo, cómo integrar funciones trigonométricas
Problemas n° 1-i y 1-j de integración trigonométricas - TP17
Enunciado del ejercicio n° 1-i y 1-j
Calcular las siguientes integrales trigonométricas:
i) I = ∫tg³ 3·x·sec4 3·x·dx
j) I = ∫cotg³ 2·x·dx
Solución
i)
I = ∫tg³ 3·x·sec4 3·x·dx
I = ∫tg² 3·x·tg 3·x·sec4 3·x·dx
Por las relaciones fundamentales:
1 + tg² α = | 1 |
cos² α |
tg² α = - 1 + | 1 |
cos² α |
tg² α = -1 + sec² α
Reemplazamos:
I = ∫(-1 + sec² 3·x)·sec³ 3·x·sec 3·x·tg 3·x·dx
Aplicamos integración por sustitución:
u = sec 3·x
Derivamos:
du = sec 3·x·tg 3·x·dx
Reemplazamos:
I = ∫⅓·(-1 + u²)·u³·du
I = ⅓·∫(u5 - u³)·du
La integral de una diferencia es la resta de las integrales:
I = ⅓·∫u5·du - ⅓·∫u³·du
Integramos:
I = ⅓· | u5 + 1 | - ⅓· | u3 + 1 | + C |
5 + 1 | 3 + 1 |
I = ⅓· | u6 | - ⅓· | u4 | + C |
6 | 4 |
I = | u6 | - | u4 | + C |
18 | 12 |
Reemplazamos:
I = | sec6 3·x | - | sec4 3·x | + C |
18 | 12 |
j)
I = ∫cotg³ 2·x·dx
Aplicamos integración por sustitución:
u = 2·x
Derivamos:
du = 2·dx
½·du = dx
Reemplazamos:
I = ∫cotg³ u·½·du
I = ½·∫cotg³ u·du
Aplicamos la fórmula de reducción para integrales trigonométricas:
In = ∫cotgn u·du = - | cotgn - 1 u | - In - 2 |
n - 1 |
I = ½·(- | cotg3 - 1 u | - ∫cotg3 - 2 u·du) |
3 - 1 |
I = ½·(- | cotg² u | - ∫cotg¹ u·du) |
2 |
I = -½· | cotg² u | - ½·∫cotg u·du |
2 |
Integramos:
I = -¼·cotg² u - ½·ln |sen u| + C
Reemplazamos:
I = -¼·cotg² 2·x - ½·ln |sen 2·x| + C
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Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
San Martín. Buenos Aires. Argentina.
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