Ejemplo, cómo integrar funciones trigonométricas

Problemas n° 1-i y 1-j de integración trigonométricas - TP17

Enunciado del ejercicio n° 1-i y 1-j

Calcular las siguientes integrales trigonométricas:

i) I = ∫tg³ 3·x·sec⁴ 3·x·dx

j) I = ∫cotg³ 2·x·dx

Solución

i)

I = ∫tg³ 3·x·sec⁴ 3·x·dx

I = ∫tg² 3·x·tg 3·x·sec⁴ 3·x·dx

Por las relaciones fundamentales:

1 + tg² α =	1
	cos² α

tg² α = - 1 +	1
	cos² α

tg² α = -1 + sec² α

Reemplazamos:

I = ∫(-1 + sec² 3·x)·sec³ 3·x·sec 3·x·tg 3·x·dx

Aplicamos integración por sustitución:

u = sec 3·x

Derivamos:

du = sec 3·x·tg 3·x·dx

Reemplazamos:

I = ∫⅓·(-1 + u²)·u³·du

I = ⅓·∫(u⁵ - u³)·du

La integral de una diferencia es la resta de las integrales:

I = ⅓·∫u⁵·du - ⅓·∫u³·du

Integramos:

I = ⅓·	u^{5 + 1}	- ⅓·	u^{3 + 1}	+ C
	5 + 1		3 + 1

I = ⅓·	u⁶	- ⅓·	u⁴	+ C
	6		4

I =	u⁶	-	u⁴	+ C
	18		12

Reemplazamos:

I =	sec⁶ 3·x	-	sec⁴ 3·x	+ C
	18		12

j)

I = ∫cotg³ 2·x·dx

Aplicamos integración por sustitución:

u = 2·x

Derivamos:

du = 2·dx

½·du = dx

Reemplazamos:

I = ∫cotg³ u·½·du

I = ½·∫cotg³ u·du

Aplicamos la fórmula de reducción para integrales trigonométricas:

I_n = ∫cotgⁿ u·du = -	cotg^{n - 1} u	- I_{n - 2}
	n - 1

I = ½·(-	cotg^{3 - 1} u	- ∫cotg^{3 - 2} u·du)
	3 - 1

I = ½·(-	cotg² u	- ∫cotg¹ u·du)
	2

I = -½·	cotg² u	- ½·∫cotg u·du
	2

Integramos:

I = -¼·cotg² u - ½·ln |sen u| + C

Reemplazamos:

I = -¼·cotg² 2·x - ½·ln |sen 2·x| + C

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

Ver condiciones para uso de los contenidos de fisicanet.com.ar

🔍
✉ f t