Problemas n° 1-c y 1-d de integración de funciones trigonométricas - TP17

Enunciado del ejercicio n° 1-c y 1-d

Calcular las siguientes integrales trigonométricas:

c) I = sen⁵ x·dx

d) I = cos⁴ 2·x·dx

Solución

c)

I = sen⁵ x·dx

I = (sen⁴ x)·(sen x)·dx

Por la relación pitagórica:

sen² x = 1 - cos² x

Reemplazamos:

I = (1 - cos² x)²·(sen x)·dx

Sustituimos:

u = cos x

Derivamos:

du = -sen x·dx

Reemplazamos:

I = -(1 - u²)²·du

Desarrollamos el binomio al cuadrado:

I = -(1 - 2·u² + u⁴)·du

I = (-1 + 2·u² - u⁴)·du

La integral de una suma es la suma de las integrales:

I = -du + 2·u²·du - u⁴·du

Integramos:

I = -u + 2·u² ⁺ ¹-u⁴ ⁺ ¹+ C
2 + 14 + 1
I = -u + 2·-u⁵+ C
35

Reemplazamos:

I = -cos x + ⅔·cos³ x - ⅕·cos⁵ x + C

d)

I = cos⁴ 2·x·dx

Aplicamos integración por sustitución:

Sustituimos:

u = 2·x

Derivamos:

du = 2·dx

½·du = dx

Reemplazamos:

I = cos⁴ u·½·du

I = ½·cos⁴ u·du

I = ½·(cos³ u)·(cos u)·du

Aplicamos integración por partes:

F(x) = v·w - w·dv

v = cos³ u

dv = 3·cos² u·(-sen u)·du

dv = -3·cos² u·(sen u)·du

dw = cos u·du

w = sen u

I = ½·cos³ u·sen u - ½·(sen u)·(-3·cos² u·sen u)·du

I = ½·cos³ u·sen u + ½·3·cos² u·sen² u·du

Resolvemos la integral:

I₂ = ½·3·cos² u·sen² u·du

Por la relación pitagórica:

sen² x = 1 - cos² x

I₂ = ½·3·(cos² u)·(1 - cos² u)·du

Por las funciones de suma y diferencia de ángulos:

cos 2·u = 2·cos² u - 1

1 + cos 2·u = 2·cos² u

1 + cos 2·u= cos² u
2
1 -1 + cos 2·u= sen² u
2
2 - 1 + cos 2·u= sen² u
2
1 - cos 2·u= sen² u
2

Reemplazamos:

I₂ = ½·3·1 + cos 2·u·1 - cos 2·u·du
22

I₂ = ⅜·(1 + cos 2·u)·(1 - cos 2·u)·du

I₂ = ⅜·(1 - cos² 2·u)·du

I₂ = ⅜·(1 -1 + cos 4·u)·du
2
I₂ = ⅜·2 - 1 + cos 4·u·du
2
I₂ = ⅜·1 - cos 4·u·du
2

I₂ = ½·⅜·(1 - cos 4·u)·du

I₂ = ½·⅜·(du - cos 4·u·du)

Integramos:

I₂ = ½·⅜·(u - ¼·sen 4·u) + C

Armamos la integral completa:

I = ½·cos³ u·sen u + ½·⅜·(u - ¼·sen 4·u) + C

Reemplazamos:

I = ½·cos³ 2·x·sen 2·x + ½·⅜·(2·x - ¼·sen 4·2·x) + C

I = ½·cos³ 2·x·sen 2·x + ½·⅜·2·x - ½·⅜·¼·sen 8·x + C

I = ⅜·x + ½·cos³ 2·x·sen 2·x - ½·⅜·¼·sen 8·x + C

I = ⅜·x + ½·cos³ 2·x·sen 2·x -3·sen 8·x + C
64

Ejemplo, cómo integrar funciones trigonométricas

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