Ejemplo, cómo integrar funciones trigonométricas

Problemas n° 1-c y 1-d de integración trigonométricas - TP17

Enunciado del ejercicio n° 1-c y 1-d

Calcular las siguientes integrales trigonométricas:

c) I = ∫sen⁵ x·dx

d) I = ∫cos⁴ 2·x·dx

Solución

c)

I = ∫sen⁵ x·dx

I = ∫(sen⁴ x)·(sen x)·dx

Por la relación pitagórica:

sen² x = 1 - cos² x

Reemplazamos:

I = ∫(1 - cos² x)²·(sen x)·dx

Sustituimos:

u = cos x

Derivamos:

du = -sen x·dx

Reemplazamos:

I = ∫-(1 - u²)²·du

Desarrollamos el binomio al cuadrado:

I = ∫-(1 - 2·u² + u⁴)·du

I = ∫(-1 + 2·u² - u⁴)·du

La integral de una suma es la suma de las integrales:

I = -∫du + 2·∫u²·du - ∫u⁴·du

Integramos:

I = -u + 2·	u^{2 + 1}	-	u^{4 + 1}	+ C
	2 + 1		4 + 1

I = -u + 2·	u³	-	u⁵	+ C
	3		5

Reemplazamos:

I = -cos x + ⅔·cos³ x - ⅕·cos⁵ x + C

d)

I = ∫cos⁴ 2·x·dx

Aplicamos integración por sustitución:

Sustituimos:

u = 2·x

Derivamos:

du = 2·dx

½·du = dx

Reemplazamos:

I = ∫cos⁴ u·½·du

I = ½·∫cos⁴ u·du

I = ½·∫(cos³ u)·(cos u)·du

Aplicamos integración por partes:

F(x) = v·w - ∫ w·dv

v = cos³ u

dv = 3·cos² u·(-sen u)·du

dv = -3·cos² u·(sen u)·du

dw = cos u·du

w = sen u

I = ½·cos³ u·sen u - ½·∫(sen u)·(-3·cos² u·sen u)·du

I = ½·cos³ u·sen u + ½·∫3·cos² u·sen² u·du

Resolvemos la integral:

I₂ = ½·3·∫cos² u·sen² u·du

Por la relación pitagórica:

sen² x = 1 - cos² x

I₂ = ½·3·∫(cos² u)·(1 - cos² u)·du

Por las funciones de suma y diferencia de ángulos:

cos 2·u = 2·cos² u - 1

1 + cos 2·u = 2·cos² u

1 + cos 2·u	= cos² u
2

1 -	1 + cos 2·u	= sen² u
	2

2 - 1 + cos 2·u	= sen² u
2

1 - cos 2·u	= sen² u
2

Reemplazamos:

I₂ = ½·3·∫	1 + cos 2·u	·	1 - cos 2·u	·du
	2		2

I₂ = ⅜·∫(1 + cos 2·u)·(1 - cos 2·u)·du

I₂ = ⅜·∫(1 - cos² 2·u)·du

I₂ = ⅜·∫(1 -	1 + cos 4·u	)·du
	2

I₂ = ⅜·∫	2 - 1 + cos 4·u	·du
	2

I₂ = ⅜·∫	1 - cos 4·u	·du
	2

I₂ = ½·⅜·∫(1 - cos 4·u)·du

I₂ = ½·⅜·(∫du - ∫cos 4·u·du)

Integramos:

I₂ = ½·⅜·(u - ¼·sen 4·u) + C

Armamos la integral completa:

I = ½·cos³ u·sen u + ½·⅜·(u - ¼·sen 4·u) + C

Reemplazamos:

I = ½·cos³ 2·x·sen 2·x + ½·⅜·(2·x - ¼·sen 4·2·x) + C

I = ½·cos³ 2·x·sen 2·x + ½·⅜·2·x - ½·⅜·¼·sen 8·x + C

I = ⅜·x + ½·cos³ 2·x·sen 2·x - ½·⅜·¼·sen 8·x + C

I = ⅜·x + ½·cos³ 2·x·sen 2·x -	3	·sen 8·x + C
	64

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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