Problemas nº 1-c y 1-d de integración de funciones trigonométricas

Enunciado del ejercicio nº 1-c y 1-d

Calcular las siguientes integrales trigonométricas:

c)

d)

Solución

c)

Por la relación pitagórica:

sen² x = 1 - cos² x

Reemplazamos:

Sustituimos:

u = cos x

Derivamos:

du = -sen x·dx

Reemplazamos:

Desarrollamos el binomio al cuadrado:

La integral de una suma es la suma de las integrales:

Integramos:

Reemplazamos:

• Respuesta: I = -cos x + ⅔·cos³ x - ⅕·cos⁵ x + C

d)

Aplicamos integración por sustitución:

Sustituimos:

u = 2·x

Derivamos:

du = 2·dx

½·du = dx

Reemplazamos:

Aplicamos integración por partes:

v = cos³ u

dv = 3·cos² u·(-sen u)·du

dv = -3·cos² u·(sen u)·du

dw = cos u·du

w = sen u

Resolvemos la integral:

Por la relación pitagórica:

sen² x = 1 - cos² x

Por las funciones de suma y diferencia de ángulos:

cos 2·u = 2·cos² u - 1

1 + cos 2·u = 2·cos² u

Reemplazamos:

Integramos:

I₂ = ½·⅜·(u - ¼·sen 4·u) + C

Armamos la integral completa:

I = ½·cos³ u·sen u + ½·⅜·(u - ¼·sen 4·u) + C

Reemplazamos:

I = ½·cos³ 2·x·sen 2·x + ½·⅜·(2·x - ¼·sen 4·2·x) + C

I = ½·cos³ 2·x·sen 2·x + ½·⅜·2·x - ½·⅜·¼·sen 8·x + C

I = ⅜·x + ½·cos³ 2·x·sen 2·x - ½·⅜·¼·sen 8·x + C

• Respuesta:

Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina

• ‹ Anterior |
• Regresar a la página TP17
• | Siguiente ›

Ejemplo, cómo integrar funciones trigonométricas