Ejemplo, cómo integrar funciones trigonométricas
Problemas n° 1-c y 1-d de integración trigonométricas - TP17
Enunciado del ejercicio n° 1-c y 1-d
Calcular las siguientes integrales trigonométricas:
c) I = ∫sen5 x·dx
d) I = ∫cos4 2·x·dx
Solución
c)
I = ∫sen5 x·dx
I = ∫(sen4 x)·(sen x)·dx
Por la relación pitagórica:
sen² x = 1 - cos² x
Reemplazamos:
I = ∫(1 - cos² x)²·(sen x)·dx
Sustituimos:
u = cos x
Derivamos:
du = -sen x·dx
Reemplazamos:
I = ∫-(1 - u²)²·du
Desarrollamos el binomio al cuadrado:
I = ∫-(1 - 2·u² + u4)·du
I = ∫(-1 + 2·u² - u4)·du
La integral de una suma es la suma de las integrales:
I = -∫du + 2·∫u²·du - ∫u4·du
Integramos:
I = -u + 2· | u2 + 1 | - | u4 + 1 | + C |
2 + 1 | 4 + 1 |
I = -u + 2· | u³ | - | u5 | + C |
3 | 5 |
Reemplazamos:
I = -cos x + ⅔·cos³ x - ⅕·cos5 x + C
d)
I = ∫cos4 2·x·dx
Aplicamos integración por sustitución:
Sustituimos:
u = 2·x
Derivamos:
du = 2·dx
½·du = dx
Reemplazamos:
I = ∫cos4 u·½·du
I = ½·∫cos4 u·du
I = ½·∫(cos³ u)·(cos u)·du
Aplicamos integración por partes:
F(x) = v·w - ∫ w·dv
v = cos³ u
dv = 3·cos² u·(-sen u)·du
dv = -3·cos² u·(sen u)·du
dw = cos u·du
w = sen u
I = ½·cos³ u·sen u - ½·∫(sen u)·(-3·cos² u·sen u)·du
I = ½·cos³ u·sen u + ½·∫3·cos² u·sen² u·du
Resolvemos la integral:
I2 = ½·3·∫cos² u·sen² u·du
Por la relación pitagórica:
sen² x = 1 - cos² x
I2 = ½·3·∫(cos² u)·(1 - cos² u)·du
Por las funciones de suma y diferencia de ángulos:
cos 2·u = 2·cos² u - 1
1 + cos 2·u = 2·cos² u
1 + cos 2·u | = cos² u |
2 |
1 - | 1 + cos 2·u | = sen² u |
2 |
2 - 1 + cos 2·u | = sen² u |
2 |
1 - cos 2·u | = sen² u |
2 |
Reemplazamos:
I2 = ½·3·∫ | 1 + cos 2·u | · | 1 - cos 2·u | ·du |
2 | 2 |
I2 = ⅜·∫(1 + cos 2·u)·(1 - cos 2·u)·du
I2 = ⅜·∫(1 - cos² 2·u)·du
I2 = ⅜·∫(1 - | 1 + cos 4·u | )·du |
2 |
I2 = ⅜·∫ | 2 - 1 + cos 4·u | ·du |
2 |
I2 = ⅜·∫ | 1 - cos 4·u | ·du |
2 |
I2 = ½·⅜·∫(1 - cos 4·u)·du
I2 = ½·⅜·(∫du - ∫cos 4·u·du)
Integramos:
I2 = ½·⅜·(u - ¼·sen 4·u) + C
Armamos la integral completa:
I = ½·cos³ u·sen u + ½·⅜·(u - ¼·sen 4·u) + C
Reemplazamos:
I = ½·cos³ 2·x·sen 2·x + ½·⅜·(2·x - ¼·sen 4·2·x) + C
I = ½·cos³ 2·x·sen 2·x + ½·⅜·2·x - ½·⅜·¼·sen 8·x + C
I = ⅜·x + ½·cos³ 2·x·sen 2·x - ½·⅜·¼·sen 8·x + C
I = ⅜·x + ½·cos³ 2·x·sen 2·x - | 3 | ·sen 8·x + C |
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Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
San Martín. Buenos Aires. Argentina.
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