Ejemplo, cómo integrar funciones trigonométricas

Problemas n° 1-e y 1-f de integración trigonométricas - TP17

Enunciado del ejercicio n° 1-e y 1-f

Calcular las siguientes integrales trigonométricas:

e) I = ∫sen² x·cos² x·dx

f) I = ∫sen³ x·cos³ x·dx

Solución

e)

I = ∫sen² x·cos² x·dx

Por la relación pitagórica:

sen² x = 1 - cos² x

I = ∫(cos² x)·(1 - cos² x)·dx

Por las funciones de suma y diferencia de ángulos:

cos 2·x = 2·cos² x - 1

1 + cos 2·x = 2·cos² x

1 + cos 2·x	= cos² x
2

1 -	1 + cos 2·x	= sen² x
	2

2 - 1 + cos 2·x	= sen² x
2

1 - cos 2·x	= sen² x
2

Reemplazamos:

I = ∫	1 + cos 2·x	·	1 - cos 2·x	·dx
	2		2

I = ¼·∫(1 + cos 2·x)·(1 - cos 2·x)·dx

I = ¼·∫(1 - cos² 2·x)·dx

I = ∫(1 -	1 + cos 4·x	)·dx
	2

I = ∫	2 - 1 + cos 4·x	·dx
	2

I = ∫	1 - cos 4·x	·dx
	2

I = ¼·½·∫(1 - cos 4·x)·dx

I = ⅛·(∫dx - ∫cos 4·x·dx)

Integramos:

I = ⅛·(x - ¼·sen 4·x) + C

Reemplazamos:

Respuesta: I = ⅛·x -	1	·sen 4·x + C
	32

f)

I = ∫sen³ x·cos³ x·dx

I = ∫sen² x·sen x·cos³ x·dx

Por la relación pitagórica:

sen² x = 1 - cos² x

Reemplazamos:

I = ∫(1 - cos² x)·sen x·cos³ x·dx

I = ∫(cos³ x - cos⁵ x)·sen x·dx

Aplicamos integración por sustitución:

u = cos x

Derivamos:

du = -sen x·dx

Reemplazamos:

I = ∫(u³ - u⁵)·(-du)

I = ∫(u⁵ - u³)·du

La integral de una diferencia es la resta de las integrales:

I = ∫u⁵·du - ∫u³·du

Integramos:

I =	u^{5 + 1}	-	u^{3 + 1}	+ C
	5 + 1		3 + 1

I =	u⁶	-	u⁴	+ C
	6		4

Reemplazamos:

I = ⅙·sen⁶ x - ¼·cos⁴ x + C

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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