Ejemplo, cómo integrar funciones trigonométricas
Problemas n° 1-e y 1-f de integración trigonométricas - TP17
Enunciado del ejercicio n° 1-e y 1-f
Calcular las siguientes integrales trigonométricas:
e) I = ∫sen² x·cos² x·dx
f) I = ∫sen³ x·cos³ x·dx
Solución
e)
I = ∫sen² x·cos² x·dx
Por la relación pitagórica:
sen² x = 1 - cos² x
I = ∫(cos² x)·(1 - cos² x)·dx
Por las funciones de suma y diferencia de ángulos:
cos 2·x = 2·cos² x - 1
1 + cos 2·x = 2·cos² x
1 + cos 2·x | = cos² x |
2 |
1 - | 1 + cos 2·x | = sen² x |
2 |
2 - 1 + cos 2·x | = sen² x |
2 |
1 - cos 2·x | = sen² x |
2 |
Reemplazamos:
I = ∫ | 1 + cos 2·x | · | 1 - cos 2·x | ·dx |
2 | 2 |
I = ¼·∫(1 + cos 2·x)·(1 - cos 2·x)·dx
I = ¼·∫(1 - cos² 2·x)·dx
I = ∫(1 - | 1 + cos 4·x | )·dx |
2 |
I = ∫ | 2 - 1 + cos 4·x | ·dx |
2 |
I = ∫ | 1 - cos 4·x | ·dx |
2 |
I = ¼·½·∫(1 - cos 4·x)·dx
I = ⅛·(∫dx - ∫cos 4·x·dx)
Integramos:
I = ⅛·(x - ¼·sen 4·x) + C
Reemplazamos:
Respuesta: I = ⅛·x - | 1 | ·sen 4·x + C |
32 |
f)
I = ∫sen³ x·cos³ x·dx
I = ∫sen² x·sen x·cos³ x·dx
Por la relación pitagórica:
sen² x = 1 - cos² x
Reemplazamos:
I = ∫(1 - cos² x)·sen x·cos³ x·dx
I = ∫(cos³ x - cos5 x)·sen x·dx
Aplicamos integración por sustitución:
u = cos x
Derivamos:
du = -sen x·dx
Reemplazamos:
I = ∫(u³ - u5)·(-du)
I = ∫(u5 - u³)·du
La integral de una diferencia es la resta de las integrales:
I = ∫u5·du - ∫u³·du
Integramos:
I = | u5 + 1 | - | u3 + 1 | + C |
5 + 1 | 3 + 1 |
I = | u6 | - | u4 | + C |
6 | 4 |
Reemplazamos:
I = ⅙·sen6 x - ¼·cos4 x + C
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Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
San Martín. Buenos Aires. Argentina.
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