Problemas n° 1-g y 1-h de integración trigonométricas - TP17

Enunciado del ejercicio n° 1-g y 1-h

Calcular las siguientes integrales trigonométricas:

g) I = sen² x·cos³ x·dx

h) I = sen³ x·dx
cos² x

Solución

g)

I = sen² x·cos³ x·dx

I = sen² x·cos x·cos² x·dx

Por la relación pitagórica:

cos² x = 1 - sen² x

I = sen² x·cos x·(1 - sen² x)·dx

Aplicamos integración por sustitución:

u = sen x

Derivamos:

du = cos x·dx

Reemplazamos:

I = u²·(1 - u²)·du

I = (u² - u4)·du

La integral de una diferencia es la resta de las integrales:

I = u²·du - u4·du

Integramos:

I =u2 + 1-u4 + 1+ C
2 + 14 + 1
I =-u5+ C
35

Reemplazamos:

I = ⅓·sen³ x - ⅕·cos5 x + C

h)

I = sen³ x·dx
cos² x
I = sen² x·sen x·dx
cos² x

Por la relación pitagórica:

sen² x = 1 - cos² x

Reemplazamos:

I = (1 - cos² x)·sen x·dx
cos² x

Aplicamos integración por sustitución:

u = cos x

Derivamos:

du = -sen x·dx

Reemplazamos:

I = (1 - u²)·(-du)
I = (u² - 1)·du
I = (-1)·du
I = (1 -1)·du

I = (1 - u-2)·du

La integral de una diferencia es la resta de las integrales:

I = du - u-2·du

Integramos:

I = u -u-2 + 1+ C
-2 + 1
I = u -u-1+ C
-1
I = u +1+ C
u

Reemplazamos:

I = cos x +1+ C
cos x

I = cos x + sec x + C

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina

Ejemplo, cómo integrar funciones trigonométricas

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