Ejemplo, cómo integrar funciones trigonométricas

Problemas n° 1-g y 1-h de integración trigonométricas - TP17

Enunciado del ejercicio n° 1-g y 1-h

Calcular las siguientes integrales trigonométricas:

g) I = ∫sen² x·cos³ x·dx

h) I = ∫	sen³ x	·dx
	cos² x

Solución

g)

I = ∫sen² x·cos³ x·dx

I = ∫sen² x·cos x·cos² x·dx

Por la relación pitagórica:

cos² x = 1 - sen² x

I = ∫sen² x·cos x·(1 - sen² x)·dx

Aplicamos integración por sustitución:

u = sen x

Derivamos:

du = cos x·dx

Reemplazamos:

I = ∫u²·(1 - u²)·du

I = ∫(u² - u⁴)·du

La integral de una diferencia es la resta de las integrales:

I = ∫u²·du - ∫u⁴·du

Integramos:

I =	u^{2 + 1}	-	u^{4 + 1}	+ C
	2 + 1		4 + 1

I =	u³	-	u⁵	+ C
	3		5

Reemplazamos:

I = ⅓·sen³ x - ⅕·cos⁵ x + C

h)

I = ∫	sen³ x	·dx
	cos² x

I = ∫	sen² x·sen x	·dx
	cos² x

Por la relación pitagórica:

sen² x = 1 - cos² x

Reemplazamos:

I = ∫	(1 - cos² x)·sen x	·dx
	cos² x

Aplicamos integración por sustitución:

u = cos x

Derivamos:

du = -sen x·dx

Reemplazamos:

I = ∫	(1 - u²)	·(-du)
	u²

I = ∫	(u² - 1)	·du
	u²

I = ∫(	u²	-	1	)·du
	u²		u²

I = ∫(1 -	1	)·du
	u²

I = ∫(1 - u^-2)·du

La integral de una diferencia es la resta de las integrales:

I = ∫du - ∫u^-2·du

Integramos:

I = u -	u^{-2 + 1}	+ C
	-2 + 1

I = u -	u^-1	+ C
	-1

I = u +	1	+ C
	u

Reemplazamos:

I = cos x +	1	+ C
	cos x

I = cos x + sec x + C

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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