Ejemplo, cómo integrar funciones trigonométricas
Problemas n° 1-g y 1-h de integración trigonométricas - TP17
Enunciado del ejercicio n° 1-g y 1-h
Calcular las siguientes integrales trigonométricas:
g) I = ∫sen² x·cos³ x·dx
h) I = ∫ | sen³ x | ·dx |
cos² x |
Solución
g)
I = ∫sen² x·cos³ x·dx
I = ∫sen² x·cos x·cos² x·dx
Por la relación pitagórica:
cos² x = 1 - sen² x
I = ∫sen² x·cos x·(1 - sen² x)·dx
Aplicamos integración por sustitución:
u = sen x
Derivamos:
du = cos x·dx
Reemplazamos:
I = ∫u²·(1 - u²)·du
I = ∫(u² - u4)·du
La integral de una diferencia es la resta de las integrales:
I = ∫u²·du - ∫u4·du
Integramos:
I = | u2 + 1 | - | u4 + 1 | + C |
2 + 1 | 4 + 1 |
I = | u³ | - | u5 | + C |
3 | 5 |
Reemplazamos:
I = ⅓·sen³ x - ⅕·cos5 x + C
h)
I = ∫ | sen³ x | ·dx |
cos² x |
I = ∫ | sen² x·sen x | ·dx |
cos² x |
Por la relación pitagórica:
sen² x = 1 - cos² x
Reemplazamos:
I = ∫ | (1 - cos² x)·sen x | ·dx |
cos² x |
Aplicamos integración por sustitución:
u = cos x
Derivamos:
du = -sen x·dx
Reemplazamos:
I = ∫ | (1 - u²) | ·(-du) |
u² |
I = ∫ | (u² - 1) | ·du |
u² |
I = ∫( | u² | - | 1 | )·du |
u² | u² |
I = ∫(1 - | 1 | )·du |
u² |
I = ∫(1 - u-2)·du
La integral de una diferencia es la resta de las integrales:
I = ∫du - ∫u-2·du
Integramos:
I = u - | u-2 + 1 | + C |
-2 + 1 |
I = u - | u-1 | + C |
-1 |
I = u + | 1 | + C |
u |
Reemplazamos:
I = cos x + | 1 | + C |
cos x |
I = cos x + sec x + C
- ‹ Anterior
- |
- Regresar a la guía TP17
- |
- Siguiente ›
Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
San Martín. Buenos Aires. Argentina.
Ver condiciones para uso de los contenidos de fisicanet.com.ar